Du danger de la généralisation
Petites formules et grands nombres ou comment oublier de ne pas généraliser trop vite….
Pierre de Fermat proposa un jour la formule suivante : f(n) = 2^(2^n)+1. Après les calculs pour n allant de 0 à 4, il vit que les résultats étaient des nombres premiers [*] et généralisa un peu vite que pour tout n, 2^(2^n)+1 était un nombre premier. Heureusement, Léonhard Euler, montra que ce n’était pas vrai pour n = 5 (c'est-à-dire 4.294.967.297, qui est divisible par 641). Et ce , sans calculatrice…. ;-)) Mais pire encore, non seulement, pour n = 5 ce n’est pas vrai (c’est donc un nombre composé), mais en plus, nous ne savons pas aujourd’hui si pour n = « une certaine valeur », f(n) est premier : tous ceux qui furent étudiés sont composés ! Actuellement, pour n allant de 5 à 30, on sait qu’ils sont composés. Sauf peut être pour n=24, car il possède à lui seul 5 millions de chiffres : ça prend donc du temps…
Pour vous donner une idée de ce que représente 5 millions de chiffres, imaginez que chaque chiffre soit écrit dans un carré de 1mm par 1mm. On écrit les chiffres (les 5 millions), puis on colle les carrés, de telle sorte qu’au total nous ayions un carré. Nous allons donc faire un carré de 2236 mm de coté. Soit 2,5 m environs… voila : en écrivant chaque chiffre, sans le coller aux autres, dans un carré de 1 mm, les 5 millions de chiffres ne tiennent que sur une feuille carrée de 2,5m de coté… Autrement dit, si vous faites un copié coller de ce nombre dans un docuement word, sans retoucher aux marges, ni à la police (Times new roman 12 par exemple), ce nombre occupe 1350 pages... à 15 pages minutes, il vous faudra pas moins de 1h30 pour l'imprimer ! (réponse à la question bête que je sens poindre .. non, je n'ai pas essayé...)
La formule suivante également ne permet pas une trop grande généralisation : f(n) = n²-n+41 : pour toutes les valeur de n allant de 0 à 40, f(n) est un nombre premier ! La formule suivante bat néanmoins celle d’Euler, car pour n allant de 0 à 42, 103n²-3945n+34381 est premier !! de même pour les deux formules suivantes : 47n²-1701n+10181 et 36n²-810n+2753
Vous l’avez peut être remarqué, mais ces formules sont du type An²-Bn+C… Pour celle d’Euler, f(n) = n²-n+41, il existe une conjecture indiquant qu’on peut avoir une formule du type n²-n+B donnant des nombres premiers pour n allant de 0 à p. Malheureusement, on sait déjà que la formule d’Euler pour p = 41 (ie un de plus que la formule initiale d’Euler) nécessitera un B très grand, déjà supérieur à 10^18…
Dans un autre style encore, les nombres n^17+9 et (n+1)^17+9 n'ont pas de facteurs communs si n=1, n=2, n=3, et même jusqu’à plusieurs millions de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards. En effet, il faut attendre n = 8424432925592889329288197322308900672459420460792433, qui vaut environ 10^53 pour rencontrer une exception : pour n valant ce nombre, n^17+9 et (n+1)^17+9 ont le facteur commun suivant : 8936582237915716659950962253358945635793453256935559...
Le calcul de π(m), le nombre de nombre premier inférieur à m est encore plus extraordinaire… alors qu’à chaque fois qu’on a testé une des ses propriétés, on l’a trouvée vraie alors que le raisonnement montre qu’elle est fausse, généralement, sans qu’on puisse trouver de contre exemple.
π(m) vaut approximativement « l’intégrale, pour x allant de 2 à m de l’inverse du logarithme de x ». notons A(m) cette approximation. Dans les faits, on constate que π(m) est inférieur ou égal à A(m) et on ne connaît pas une seule valeur de m qui puisse la contredire. Pourtant, Littlewood a montré en 1914 que la différence entre π(m) et A(m) change de signe une infinité de fois !! Cela signifie concrètement que tantôt π(m) est plus grand que A(m), tantôt plus petit, et ceci, une infinité de fois…. En 1933, Skewes a montré pour sa part que le premier changement de signe ne se présentait pas avant m = 10^[10^(10^34)] . Cette majoration a été améliorée par H. te Riele en 1987 par 10^371 (un 1 suivi de 371 zéro…)
[*] Rappelons qu'un nombre entier est dit premier s'il est divisible uniquement par 1 et lui-même ; 1 n'est pas considéré comme premier (notamment du fait de l’unicité de la décomposition en nombres premiers); les 10 plus petits nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
Pierre de Fermat proposa un jour la formule suivante : f(n) = 2^(2^n)+1. Après les calculs pour n allant de 0 à 4, il vit que les résultats étaient des nombres premiers [*] et généralisa un peu vite que pour tout n, 2^(2^n)+1 était un nombre premier. Heureusement, Léonhard Euler, montra que ce n’était pas vrai pour n = 5 (c'est-à-dire 4.294.967.297, qui est divisible par 641). Et ce , sans calculatrice…. ;-)) Mais pire encore, non seulement, pour n = 5 ce n’est pas vrai (c’est donc un nombre composé), mais en plus, nous ne savons pas aujourd’hui si pour n = « une certaine valeur », f(n) est premier : tous ceux qui furent étudiés sont composés ! Actuellement, pour n allant de 5 à 30, on sait qu’ils sont composés. Sauf peut être pour n=24, car il possède à lui seul 5 millions de chiffres : ça prend donc du temps…
Pour vous donner une idée de ce que représente 5 millions de chiffres, imaginez que chaque chiffre soit écrit dans un carré de 1mm par 1mm. On écrit les chiffres (les 5 millions), puis on colle les carrés, de telle sorte qu’au total nous ayions un carré. Nous allons donc faire un carré de 2236 mm de coté. Soit 2,5 m environs… voila : en écrivant chaque chiffre, sans le coller aux autres, dans un carré de 1 mm, les 5 millions de chiffres ne tiennent que sur une feuille carrée de 2,5m de coté… Autrement dit, si vous faites un copié coller de ce nombre dans un docuement word, sans retoucher aux marges, ni à la police (Times new roman 12 par exemple), ce nombre occupe 1350 pages... à 15 pages minutes, il vous faudra pas moins de 1h30 pour l'imprimer ! (réponse à la question bête que je sens poindre .. non, je n'ai pas essayé...)
La formule suivante également ne permet pas une trop grande généralisation : f(n) = n²-n+41 : pour toutes les valeur de n allant de 0 à 40, f(n) est un nombre premier ! La formule suivante bat néanmoins celle d’Euler, car pour n allant de 0 à 42, 103n²-3945n+34381 est premier !! de même pour les deux formules suivantes : 47n²-1701n+10181 et 36n²-810n+2753
Vous l’avez peut être remarqué, mais ces formules sont du type An²-Bn+C… Pour celle d’Euler, f(n) = n²-n+41, il existe une conjecture indiquant qu’on peut avoir une formule du type n²-n+B donnant des nombres premiers pour n allant de 0 à p. Malheureusement, on sait déjà que la formule d’Euler pour p = 41 (ie un de plus que la formule initiale d’Euler) nécessitera un B très grand, déjà supérieur à 10^18…
Dans un autre style encore, les nombres n^17+9 et (n+1)^17+9 n'ont pas de facteurs communs si n=1, n=2, n=3, et même jusqu’à plusieurs millions de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards. En effet, il faut attendre n = 8424432925592889329288197322308900672459420460792433, qui vaut environ 10^53 pour rencontrer une exception : pour n valant ce nombre, n^17+9 et (n+1)^17+9 ont le facteur commun suivant : 8936582237915716659950962253358945635793453256935559...
Le calcul de π(m), le nombre de nombre premier inférieur à m est encore plus extraordinaire… alors qu’à chaque fois qu’on a testé une des ses propriétés, on l’a trouvée vraie alors que le raisonnement montre qu’elle est fausse, généralement, sans qu’on puisse trouver de contre exemple.
π(m) vaut approximativement « l’intégrale, pour x allant de 2 à m de l’inverse du logarithme de x ». notons A(m) cette approximation. Dans les faits, on constate que π(m) est inférieur ou égal à A(m) et on ne connaît pas une seule valeur de m qui puisse la contredire. Pourtant, Littlewood a montré en 1914 que la différence entre π(m) et A(m) change de signe une infinité de fois !! Cela signifie concrètement que tantôt π(m) est plus grand que A(m), tantôt plus petit, et ceci, une infinité de fois…. En 1933, Skewes a montré pour sa part que le premier changement de signe ne se présentait pas avant m = 10^[10^(10^34)] . Cette majoration a été améliorée par H. te Riele en 1987 par 10^371 (un 1 suivi de 371 zéro…)
[*] Rappelons qu'un nombre entier est dit premier s'il est divisible uniquement par 1 et lui-même ; 1 n'est pas considéré comme premier (notamment du fait de l’unicité de la décomposition en nombres premiers); les 10 plus petits nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
Posté par Vicnent | 3:04 PM
2 Comments:
Aaaaaaaaah, ce que j'aime quand tu fais ton matheux ... ;o)
"Autrement dit, si vous faites un copié coller de ce nombre dans un docuement word, sans retoucher aux marges, ni à la police (Times new roman 12 par exemple), ce nombre occupe 1350 pages... à 15 pages minutes, il vous faudra pas moins de 1h30 pour l'imprimer ! (réponse à la question bête que je sens poindre .. non, je n'ai pas essayé...)"
Un copier-coller avec autant de chiffres ... de toutes façons, avec un PC, tu peux pas ... (voir ici !)
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